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Freitag, 7. Januar 2011

1.3) Über Wieferich und Mirimanoff - Primzahlen

Anfang: MO 24. Januar 2011

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Kapitelübersicht:

1) Was sind Wieferich und Mirimanoff Primzahlen?

2) Wieviele dieser Primzahlen gibt es?

3) Die ersten Ansätze einer Methode zur Beweisführung und deren Kritik

4) Kritik dieser Methode

5) Noch ein Beweisindikator

6) Kurzintermezzo

7) Eine Methode, die nachweislich nicht funktioniert

8) Erste Ansätze zu einem funktionierenden Beweis

9) Ein interessanter Beweisansatz

10) Ein mißlungener Beweisansatz

11) Der Rest vom Schützenfest


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1) Was sind Wieferich und Mirimanoff Primzahlen?


Im Jahre 1909 konnte der Mathematiker Arthur Wieferich für den Fall 1 der fermatschen Vermutung beweisen, dass der Exponent p (die fermatsche Vermutung braucht nur für ungerade prime Exponenten bewiesen zu werden) eine Wieferich-Primzahl sein muss, das heisst, dass gilt:

(p^2) | (2^(p-1)) - 1

Es gibt nur zwei bekannte Wieferich Primzahlen, nämlich die 3511 und die 1093. Sollte es noch mehr geben, müssen sie sehr groß sein, siehe den Link links auf dieser Seite, der hier noch einmal wiederholt wird:

http://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237&lpg=PA237&dq=Mirimanoff+Primzahl&source=bl&ots=pGk-zUiTBa&sig=UPWvBoRW9I3Wv2CbXosdPORun5A&hl=de&ei=rflGTa68CMWOswag9bGzDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CDUQ6AEwCA#v=onepage&q=Mirimanoff%20Primzahl&f=false

Im Jahre 1910 konnte dann Dimitry Mirimanoff beweisen, dass für den Fall 1 der fermatschen Vermutung auch gelten muss:

(p^2) | (3^(p-1)) - 1

Die Primzahl 11 ist z.B. eine solche "Mirimanoff - Primzahl" (eine eigene Wortkreation von mir). Die beiden bekannten Wieferich - Primzahlen sind übrigends keine Mirimanoff - Primzahlen.

Wer nun beweisen kann, dass eine Wieferich-Primuzahl niemals Mirimanoff-Primzahl sein kann, hätte also den Fall 1 der fermatschen Vermutung bewiesen, ebenso wie jene These, dass es nur zwei Wieferich - Primzahlen (die 1093 und die 3511) gibt, denn für jede einzelne Primzahl als Exponent kann die fermatsche Vermutung mit speziellen Methoden bewiesen werden.

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2) Wieviele dieser Primzahlen gibt es?

Es lässt sich auch beweisen, dass es zwischen 0 und (p^2) immer genau (p-1) Zahlen n gibt, für die gilt:

(p^2) | n^(p-1) - 1

Dies geht so:

Man definiert (p-1) Gruppen, mit je p Zahlen x, die nicht durch p teilbar sind mit jeweils x<(p^2), für die gilt, dass innerhalb einer Gruppe, seien zwei Zahlen j und k konkrete Zahlen der Variable x, immer gilt:

p | j-k .

Damit gilt aufgrund des kleinen fermatschen Satzes mit q=(p-1):
p | j^q - k^q
Würde aber nun gelten:
(p^2) | j^q - k^q
, dann könnte man diesen Wert mit k multiplizieren und die durch (p^2) teilbare Zahl
(k^p) - (j^p)
addieren; es würde somit gelten:
(p^2) | (j^q)*(k - j)
, was aber nicht sein kann, da j zu p teilerfremd ist, und es gilt:
p || (k-j)

Somit lässt sich für jede Zahl x aus einer der p Zahlen umfassenden Gruppe sagen:

(p^2) | x^q - 1 - a*p

Mit a < p und einem für jede Zahl x innerhalb einer Gruppe jeweils anderen Wert für a, so dass in jeder der (p-1) Gruppen der Wert (a=0) genau einmal vorkommt, und, somit gilt für genau (p-1) Zahlen x mit x>(p^2) gilt:

(p^2) | x^(p-1) - 1

Bei p = 5 lauten diese 4 (bzw. (p-1)) Zahlen z.B.
1, 7, 18, 24
, für p = 11 lauten sie:
1, 3, 9, 27, 40, 81, 94, 112, 118, 120
Logischerweise sind die Zahlen 1 und ((p^2)-1) immer vorhanden, und auch ansonsten ist eine Symmetrie da; immer, wenn gilt:
(p^2) | n^q - 1
, auch gelten muss:
(p^2) | ((p^2) - n)^q - (n^q)
, da letzterer Wert immer durch die Summe der Basen teilbar ist, und somit gilt auch:
(p^2) | ((p^2) - n)^q - 1

Es stellt sich die (ungeklärte) Frage*, ob es unendliche viele Primzahlen p gibt, für die sich für eine bestimmte Zahl n>2 immer sagen lässt:
(p^2) | n^q

Hier ein Lösungsansatz von mir:

Würde man (die bisher noch unbewiesene) These zu Rate ziehen, dass zwischen zwei Quadraten immer mindestens eine Primzahl liegt, dann wäre das Doppelte des Quadrates einer Primzashl immer größer als das Quadrat der nächsthöheren Primzahl, und, es wäre, wandert man den Zahlenstrang entlang, zwischen diesen Quadraten nicht immer genug Platz für (p-1) neue Primzahlen geben, so, dass es wenigstens eine Zahl n gäbe, für die es unendlich viele Exponenten p gibt, allerdings müsste der Beweis noch präzisiert werden.

* Diese Frage soll allerdings kurz vor der Lösung stehen.

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3) Die ersten Ansätze einer Methode zur Beweisführung und deren Kritik

Dieser Fakt lies mich dazu inspirieren, eine Methode zu entwerfen, mittels der sich beweisen liesse, dass eine Wieferich- Primzahl niemals eine Mirimanoff-Primzahl sein kann; ich möchte dies mal am Fall (p=11) demonstrieren, und gehe dabei davon aus, dass die 11 sowohl Wieferich als auch Mirimanoff - Primzahll sei:

(p^2) | (121-1)^q - 1
Somit lässt sich sagen, dass gilt:
(p^2) | (60*2)^q - 1
Zu dieser Zahl addieren wir den zu (p^2) teilbaren Wert
60*(1 - 2^q)
und erhalten:
(p^2) | 60^q - 1

Wir nehmen also den Wert ((p^2)-1) und teilen ihn durch die Vielfachen von 2 und 3, so, dass wir neue Zahlen n erhalten, für die gilt:

(p^2) | n^q - 1

Alle so erhaltenen Zahlen n schreiben wir in eine Menge M, wobei wir auch sämtliche Vielfachen dieser Zahlen n, die kleiner als (p^2) sind, in die Menge schreiben können, denn, wenn gilt:
(p^2) | j^q - 1
und auch gilt:
(p^2) | k^q -1
, dann gilt auch:
(p^2) | (j*k)^q - 1
Somit können wir also alle ganzzahligen Vielfachen aller Zahlen n in die Menge M schreiben, als auch alle ganzzahligen Brüche, deren Teiler Elemente von M sind, sowie sämtlichr Differenzen des Wertes (121-n) mit n € M.
Das wären dann also die Werte 60, 30, 15, und, da 15 durch 3 teilbar ist, auch die 5.
Weiterhin stünden in dieser Menge dann die
(121 - 16) = 105, die 35 = 105/3 und die 7 = 35/5
Wenn in de Menge M dann alle zu p teilerfremden Primzahlen stehen, dan gibt es unter (p^2) mehr als (p-1) Zahlen n, für die gilt:
(p^2) | n^q - 1

Allerdings liesse sich diese Methode auch auf die Zahlen n anwenden, wenn nicht beide Zahlen 2 und 3 Elemente dieser Menge sind; ausgehend also von den (p-1) Zahlen "n" für eine Primzahl müssten sich somit mehr als (p-1) Zahlen generieren lassen, was aber natürlich nicht möglich sein kann, so, dass diese Methode zumindest in einigen Fällen nur eine begrenzte Anzahl von Zahlen n (und zwar höchstens (p-1) Zahlen) generieren kann.
Dabei hat man großen Spielraum, denn, da ja auch der Wert
(d*p + n)^q - (n^q) durch (p^2) teilbar ist, könnte man auch die Zahl
(d*p + n) in die Menge M schreiben sowie deren Teiler, die sich bei der Teilung durch die Vielfachen der Elemente der Menge M ergeben, sowie sämtliche positiven Zahlen, die danach beim Abzug der Vielfachen von (p^2)von den Zahlen n entstehen.
Zwar hat diese Methode, setzt man n=2 bzw. n=3 ein, den Vorteil, dass man zu Anfang recht viele Zahlen erhällt, da immer gilt:

2*2*2*3 | ((p^2)-1)^q - 1 = (p+1)*(p-1)

, aber, ein Garant für den Erfolg dieser Methode ist dies nicht; ein einziges Gegenbeispiel würde sämtliche Hoffnungen begraben, und, die Wahrscheinlichkeit, mit zunehmender Höhe der Primzahl weniger Zahlen zu erhalten, würde sich erhöhen; hier mal im nächsten Kapitel eine Begründung des Verdachtes dafür, warum das Ganze so ist.

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4) Kritik dieser Methode

Nun wollte ich aber testen, ob diese Methode auch für Primzahlen statt für deren Quadrate gilt, das heisst, man beginnt, die Zahl (p-1) durch 2 bzw. 3 zu teilen bzw. mit dem Wert (p-2) oder aber (p-3) zu beginnen.

Ein Beispiel für (p = 23):

23 - 3 = 2*2*5
23 - 2*2*2 = 7
(23 - 1)/2 = 11
23 - 2*5 = 13
23 - 2*3 = 17
23 - 2*2 = 19

Man erhällt also sämtliche Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19), die kleiner als 23 sind, und, somit auch sämtliche Vielfache dieser Zahlen, also, genau (p-1) Zahlen n mit n
Dies hat für alle Primzahlen bis p = 73 funktioniert, aber, hier kommt man (z.B.) nie auf den Wert n=5, auch dann nicht, wenn man den Wert
(d*73 + n)^q - (n^q)
einsetzt und die ganzzahligen Teiler von
(d*73 + n)
mit den teilenden Zahlen, die in M zu finden sind, bildet.

Werden die Primzahlen noch größer, häufen sich die Ausnahmen, weswegen meine Vermutung steht, dass dies auch für die Quadrate der Primzahlen Gültigkeit hat.

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5) Noch ein Beweisindikator

Es sei außerdem noch erwähnt, dass sich die Vermutung, dass niemals gleichzeitig gelten kann:
(p^2) | 2^q - 1 sowie (p^2) | 3^q - 1
sich beweisen liesse, wenn sich beweisen lässt, dass sich für jede Primzahl p die Variablen s und t finden lassen, für die gilt:

p || 2^s - 3^t

Die Beweisführung ist recht einfach:

Angenommen, es sei so, dann würde gelten:

(p^2) | 2^(2*s*p) - 3^(2*t*p) (AUSDRUCK 1)

, seien aber beide Primzahlen sowohl Wieferich als auch Mirimanoff-Primzahlen, dann würde aber auch gelten:

(p^2) | 2^(2*s*q) - 3^(2*t*q) (AUSDRUCK 2)

mit q = (p-1)

und somit, sei m = 1 der ggT zwischen p und q, würde auch gelten:

(p^2) | 2^(2*s*m) - 3^(2*t*m) (AUSDRUCK 3)

, was aber nicht sein kann, da sonst gelten würde:

(p^2)|| 2^s - 3^t

, was aber der Ausgangsannahme widerspricht.

So gilt für p = 23 beispielsweise:

(23^2) | 2^22 - 3^22

aber, es gilt auch:

23 || 3^3 - 2^2 = 27 - 4 = 23

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6) Kurzintermezzo:

Erwähnt sei noch, dass die 11 eine Mirimanoff-Primzahl ist und für die 23 gilt:

(23^2) | 3^22 - 2^22

Allerdings gibt es auch einen Ausdruck der Natur:

23 || 2^s - 3^t ___ mit (s = 2) und (t = 3), so, dass sich beweisen lässt, dass die 23 weder Wieferich noch Mirimanoff - Primzahl ist.

Ähnlich lässt sich beweisen, dass die 1093 keine Mirimanoff-Primzahl ist, denn es gilt:

(3^7) - 1 = 2*1093

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7) Eine Methode, die nachweislich nicht zwangsweise funktioniert:

Es stellt sich die Frage, ob man vielleicht, kennt man neben 1 und ((p^2)-1) noch eine weiter Zahl n, für die gilt:

(p^2) | n^q - 1

sich nach meinem Algorythmus vielleicht sämtliche (p-1) Zahlen n generieren liessen; für p=11 und n=3 geht dies zum Beispiel; nehmen wir aber mal den Fall:

p=13

Zunächst wird es schwer, überhaupt eine Zahl n zu finden, für die gilt:

(p^2) | n^12 - 1

wenn n größer ist als 1 und kleinere ist als (p^2-1), aber, es gibt einen Trick, dies zu bewerkstelligen:

Wir nehmen eine Zahl n=a, für die das nicht gilt; es gilt somit:

(p^2) | a^q - 1 - b*p (Ausdruck 1)

(mit a
(p^2) | ((x*p)+a)^q - 1 (Ausdruck 2)

Wir multiplizieren also diesen Wert mit ((x*p)+a) und erhalten:

(p^2) | ((x*p)+a)^p - x*p - a (Ausdruck 3)

Davon subtrahieren wir den durch (p^2) teilbaren Wert

((x*p)+a)^p - a^p

und erhalten:

(p^2) | a^p - x*p - a (Ausdruck 4)

Davon subtrahieren wir das a-fache vom Ausdruck 1

(p^2) | a^p - a - a*b*p (Ausdruck 1.1)

(p^2) | a + a*b*p - x*p - a

Somit gilt:

p | a*b - x

Für p = 13 und a = 5 erhalten wir b = 1, und somit gilt:

p | x = 5

und somit:

(p^2) | ((5*13)+5)^q - 1

Was gleichbedeutend ist mit:

(p^2) | 70^12 - 1

Damit lässt sich neben den Zahlen 1 und 168 auch die Zahl 70 und somit auch die Zahl n=90=(p^2)-70 finden.

Doch leider lassen sich so keine anderen Zahlen generieren, denn es gilt:

70^2 = - 1 mod (13^2)

sowie

99^2 = - 1 mod (13^2)

Sämtliche Vielfachen von 70 und 99 sind also entweder um eins kleiner oder aber um eins größer als die Vielfachen von (p^2); so geht es also nicht; mit dieser Methode lassen sich aber mit den ersten (p-1) Zahlen sämtliche Zahlen n mit n < (p^2) generieren, für die gilt:

(p^2) | n^q - 1

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8) Erste Ansätze zu einem funktionierenden Beweis:

Angenommen, p sei eine Wieferich - Primzahl, dann kann es mit n<(p^2) keine Zahl

n = (x*p + 2) ____ mit x < p

geben, für die gilt:

(p^2) | (x*p + 2)^q - 1

Somit muss (mit a < p) dann immer gelten:

(p^2) | (x*p + 2)^q - 1 - a*p

Nun rechnen wir weiter:

(p^2) | (x*p + 2)^p - x*p - 2 - a*x*(p^2) - 2*a*p

Davon ziehen wir in zwei Schritten folgende durch (p^2) teilbaren Zahlen ab:

(x*p + 2)^p - 2^p ___ sowie ___ 2^p - 2

Es gilt dann:

(p^2) | 2 - x*p - a*x*(p^2) - 2*a*p

und somit:

p | (x + 2a)

Nun lässt sich dann für jede Zahl p ein Zahlenpaar (x;a) mit den Variablen x und a finden, für die das gilt, wenn in jedem Zahlenpaar die Variable x und a genau einmal vorkommt, sei x bzw. a eine Zahl zwischen 0 und p; ein Beispiel mit (p=7):

(x;a) = (1;3), (2;6), (3;2), (4;5), (5;1) (6;4)

Ist p dann auch nioch Mirimanoff - Primzahl, lassen dich Variablen für y und b finden, für die jeweils gilt:

p | y + 3*b

Auch hierfür gibt es immer Beispiele, so, dass, wenn man bedenkt, dass es immer eines der (p-1) Zahlenpaare gibt, für die x = y ist, und somit gilt:

p | 3*b - 2*a ____ und ___ p | 2*x + 3*b + 2*a

Nachweislich lassen sich für jede Primzahl solche Variablen x,y, a und b finden, so, dass hier auf diese Art keine Beweisführung erfolgen kann.

Hier der Beweis:

Zunächst wird bewiesen, dass, ist p eine ungerade Primzahl, sich für eine konstante n immer zwei Zahlen x und a, die beide kleiner sind als p und größer als 0, finden lassen, so, dass gilt:

p | x + a*n

Wir setzen zuerst für a eine Zahl zwischen 0 und p, und varieren, beginnend mit (x=1) den Wert für x, welcher jeweils um 1 ansteigt, so, dass gilt:

x + a*n = m

Es steigt also m immer um jeweils 1 an, und, noch bevor x die Größe p erreicht oder aber überschritten hat, gilt:

p | x + a*n = m

Somit lässt sich für jedes a ein zugeordneter Wert x finden, aber, es ist noch nicht bewiesen, dass die Werte für x und a in den (p-1) Zahlenpaaren (x;a) nicht doppelt vorkommen, aber, das ist recht schnell bewiesen:

Angenommen, es gilt:

p | (x_1) + n*(a_1) ____ als auch ____ p | (x_2) + n*(a_2)

und, entweder die Werte (x_1) und (x_2) seien gleich, oder aber, die Werte (a_1) und (a_2), dann müsste nämlich auch gelten:

p | (x_1) - (x_2) + n*((a_1) - (a_2))

,womit (x_1) = (x_2) nur dann gelten kann, wenn auch gilt: (a_1) = (a_2), weil n zu p teilerfremd ist, und die Werte für x und a kleiner als p sind.

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9) Ein interessanter Beweisansatz

Hier wird ein recht interessanter Beweisansatz vorgestellt, um zu beweisen, dass Wieferich - Primzahlen keine miranimoff - Primzahlen sind. Als Beispiel für die Vorgehensweise dient (p=7), das heißt, es wird so getan, als ob gelten würde:

(p^2) | 2^6 - 1 __ und __ (p^2) | 3^6 - 1

Wäre dies so, könnten folgende Aussagen getroffen werden:

p | 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = (n_1)
p | 1 + 2*2 + 3*(2^2) + 2*(2^3) + 1*(2^4) = (n_2)
p | 1 - 2*4 + 3*(4^2) - 2*(4^3) + 1*(4^4) = (n_3)
p | 1 + 2*8 + 3*(8^2) + 2*(8^3) + 1*(8^4) = (n_4)

Die Basen 2;4 und 8 sind für jeden primen Exponenten p gleich, deren Exponenten steigen von (p-3) bis (p-p) in Stufen zu je 1 ab. Die Koefizienten ergeben sich für (p=7) wie folgt:

Die Bebene für das pascalsche Dreieck für die Zahl 7 = p weist folgende Zahlenfolge für (p-1) auf:

1; 6; 15; 20; 15; 6; 1 auf.

Wir addieren dazu

- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1

und teilen die entstehende Zahlenfolge dann durch p (=7):

1; 2; 3; 2; 1

Und so werden diese Ausdrücke erzeugt:

------ So wird (n_1) erzeugt:

p | 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = (n_1)

Zunächst werden die Koeffizienten für (p-1)
gesucht; deren Summe ist immer gleich 2^(p-1), was man erkennt, wenn man die Zahl
(1+1)^(p-1) als Summenfolge darstellt.
Ist p dann also Wieferich-Primzahl, dann wird von diesem Wert

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1

die Zahl (-1) als Summenfolge

- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1

abgezogen, der entstehende Wert 2^6 - 1 ist dann durch (p^2) teilbar.
Teilen wir ihn durch p, entsteht der Wert:

p | 1 + 2 + 3 + 2 + 1

, was für p = 7 natürlich nicht gilt, weil die 7 keine Wieferich - Primzahl ist.

------ So wird dr Wert (n_2) erzeugt:

p | 1 + 2*2 + 3*(2^2) + 2*(2^3) + 1*(2^4) = (n_2)

Zunächst gilt:

(p^2) | 3^6 - 1 ___ und somit: ___ (2+1)^6 - 1

Dies wird als Summenfolge dargestellt:

2^6 + 6*(2^5) + 15*(2^4) + 20*(2^3) + 15*(2^2) + 6*2

Davon wird der durch (p^2) teilbare Wert (2^6) - 1 subtrahiert:

(p^2) | 6*(2^5) + 15*(2^4) + 20*(2^3) + 15*(2^2) + 6*2 + 1

Dazu wird der durch (p^2) teilbare Wert ((2^6)-1)/(2+1) als Summenfolge addiert:

(p^2) | 2^5 - 2^4 + 2^3 - 2^2 + 1

Es gilt nun:

(p^2=) | 7*(2^5) + 14*(2^4) + 21*(2^3) + 14*(2^2) + 7*2

Eine Kontrollrechnung macht das deutlich; dieser Wert ist nämlich gleich:

(p^2) | ((2 + 1)^7 - 3) - ((2^7) - 2)

Der entstehende Wert wird durch 7*2 geteilt, und, es gilt nun:

p | 1 + 2*2 + 3*(2^2) + 2*(2^3) + 1*(2^4) = (n_2)

------So wird der Wert (n_3) erzeugt:

p | 1 - 2*4 + 3*(4^2) - 2*(4^3) + 1*(4^4) = (n_3)

Man nimmt den durch (p^2) teilbaren Wert

(p^2) | (4 - 1)^6 - 1

Und stellt diesen als Summenfolge dar:

(p^2) | 4^6 - 6*(4^5) + 15*(4^5) - 20*(4^4) + 15*(4^3) - 6*4

Davon ziht man den durch (p^2) teilbaren Wert ((4^6)-1) ab, und erhällt nun:

(p^2) | - 6*(4^5) + 15*(4^5) - 20*(4^4) + 15*(4^3) - 6*4 + 1

Dazu addiert man den durch (p^2) teilbaren Wert

(p^2) | - 4^5 - 4^4 - 4^3 - 4^2 - 4 - 1 = ((4^6)-1)/(4-1)

Es ergibt sich nun:

(p^2) | - 7*(4^5) + 14*(4^4) - 21*(4^3) + 14*(4^2) - 7*4

Dieser Wert wir durch (-1)*(p = 7)*4 geteilt, und, es ergibt sich:

(p^2) | + (4^4) - 2*(4^3) + 3*(4^2) - 2*4 + 1

Eine Kontrollrechnung könnte derart lauten:

(p^2) | (4^6) - 4*(3^6) + 3

Dann gilt auch:

(p^2) | ((4^6) - 4*(3^6))^6 - 3^6

Von diesem Wert werden die durch (p^2) teilbaren Werte

(4^(6*6)) - 1 und (4^6)*(3^(6*6)) und 1 - (3^6) subtrahiert.

Die sich ergebende Summenfolge enthällt immer die Werte

k*(2^6*(6-d))*(3^(6*d))

Von dieser werden dann die durch (p^2) teilbaren Werte

k*(3^(6*d))*((2^6)*(6-d) - 1) ____ sowie k*((3^(6*d) -1)

subtrahiert, der Rest erfolgt wie gehabt.

So wird der Wert (n_3) erzeugt:

p | 1 + 2*8 + 3*(8^2) + 2*(8^3) + 1*(8^4) = (n_4)

Man nimmt den Wert

(p^2) | (8+1)^6 - 1

und stellt ihn als Summenfolge dar.

Dazu wird der Wert

(p^2) | 1 - (8^6) addiert sowie die Summenfolge

(p^2) | 8^5 - 8^4 + 8^3 - 8^2 - 8 + 1 = ((8^6)-1)(8+1)

addiert, und, der Rest wird durch (p=7) geteilt.

Gibt es nun tatsächlich keine Primzahlen, die gleichzeitig Wieferich als auch Mirimanoff - Primzahlen sind, dann können nicht alle 4 Gleichungen zugleich durch p teilbar sein.

Ähnliche Ausdrücke erhällt man, wenn man die durch (p^2) teilbaren Zahlen

(p^2) | (3-1)^q - 1____ oder ____ (9 - 1)^q - 1

Als Ausgangsbasis nimmt.

Man kann auch Zahlen der Natur

(4 + 1)^q - (2+3)^q - 4^q - 1^q + 2^q + 3^q

oder Ähnliches als Ausgangsbasis nehmen.

Für (p=5) gilt z.B.


((2^q) - 1)/(2-1) = 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1
((2^q) - 1)/(2+1) = 2^5 - 2^4 + 2^3 - 2^2 + 2 - 1
((3^q) - 1)/(3-1) = 3^5 + 3^4 + 3^3 + 3^2 + 3 + 1
((3^q) - 1)/(3+1) = 3^5 - 3^4 + 3^3 - 3^2 + 3 - 1

Und ganz allgemein gilt:

(p^2) | ((2 + 1)^q) - 1
(p^2) | ((3 - 1)^q - 1
(p^2) | (2 + 1)^p - 2^p - 3 + 2
(p^2) | (3 - 1)^p - 3^p - 2 + 1
(p^2) | (8 + 1)^q - 8^q - 1
(p^2) | (9 - 1)^q - 9^q - 2
(p^2) | (4 - 1)^p - 4^p - 3 + 4
(p^2) | (4 - 1)^q - 1 - 4^q + 1

usw.

Ausserdem lassen sich die Zahlen

(9^q - 1)/(9-1)
(9^q - 1)/(9+1)
(8^q - 1)/(8-1)
(8^q - 1)/(8-1)

Als Summenfolgen darstellen.

Es stellt sich abschliessend die Frage, on (n_2), (n_3) oder (n_4) nicht auch durch p teilbar sind, wenn p weder Wieferich oder aber Mirimanoff - Primzahl ist.
Die könnte zwar für einzelne dieser Zahlen gelten, aber, nicht für alle drei Zahlen zu gleich; ich will die mal exemplarisch an einem Beispiel verdeutlichen:

(n_2) = ((2+1)^p - (2^p) - 1)/2*3*p
(n_3) = ((4-1)^p - (4^p) + 1)/4*3*p

Wäre allso z.B. p keine Wieferich-Primzahl, und wären trotzdem beide Zahlen im Zähler durch (p^2) teilbar, dann müsste auch die Differenz beider Zahlen durch (p^2) teilbar sein:

(p^2) | (3^p) - (2^p) - (3^p) + (4^p) - 2
(p^2) | (4^p) - (2^p) - 2

Ist p dann nicht Wieferich - Primzahl, dann gilt:

(p^2) | (2^p) - 2 - a*p

und somit auch:

(p^2) | (2^p)^2 - (2 + a*p)^2

und somit:

(p^2) | (4^p) - 4 - 4*a*p

Nun addieren wir zum Wert

(p^2) | (4^p) - (2^p) - 2

Den Wert:

(p^2) | - (4^p) + 4 + 4*a*p + (2^p) - 2 - a*p

und erhalten:

(p^2) | 3*a*p

Was natürlich mit zu p teilerfremden Zahlen a und 3 nicht geht.

Für die anderen Zahlen wird ein ähnliches Verfahren angewandt; gibt es also keine Primzahl, die gleichermaßen Wieferich als auch Mirimanoff-Primzahl ist, muss wenigstens einer der vier Werte (n_1), (n_2), (n_3) oder (n_4) nicht die Eigenschaft haben, durch p teilbar zu sein.

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10) Ein mißlungener Beweisansatz:

Hier also nun zum Abschluss zur misslungenen Beweisführung, dass Wieferich-Primzahlen niemals Mirimanoff-Primzahlen sein können:

Die Zahlendefinition:

q = (p-1)
d = (p-2)
x < p
a < p

Im Vorlauf wird zunächst bewiesen, dass, wenn gilt:

(p^2) | ((x*p + 2)^q) - 1 - a*p

auch gelten muss:

p | (x + 2*a)

Vorlauf:



Nun zur Beweisführung:

(p^2) | ((x*p + 2)^q) - 1 - a*p (AUSDRUCK 1)

Dies ist gleichbedeutend mit:

(p^2) | ((x*p + 2)^q) - 4 + 3 - a*p (AUSDRUCK 2)

Damit gilt auch:

(p^2) | (((x*p + 2)^q) - 4)^q - (3 - a*p)^q (AUSDRUCK 3)

,da dieser Wert immer durch die Differenz der Basen teilbar ist.
Das Ganze wird mit (((x*p + 2)^q) - 4) multipliziert

(p^2) | (((x*p + 2)^q) - 4)^p - ((3 - a*p)^q)*(((x*p + 2)^q) - 4)
(AUSDRUCK 4)

Da nun nach den kleinen fermatschen Satz gilt:

p | (((x*p + 2)^q) - 4) - (1 - 4)

Gilt nach der "Teilbarkeitsregel T" dann:

(p^2) | (((x*p + 2)^q) - 4)^p - (1 - 4)^p

Dieser Wert wird dann vom Ausdruck 4 abgezogen, und es gilt:

(p^2) | - (3^p) - ((3 - a*p)^q)*(((x*p + 2)^q) - 4)
(AUSDRUCK 5)

Dazu wird die durch (p^2) teilbare Zahl ((3^p) - 3) addiert:

(p^2) | - 3 - ((3 - a*p)^q)*(((x*p + 2)^q) - 4)
(AUSDRUCK 6)

Dies ist gleich:

(p^2) | - 3 - (((3 - a*p)*(x*p + 2))^q) + 4*(3 - a*p)^q
(AUSDRUCK 7)

Dies ist gleich:

(p^2) | - 3 - (3*x*p - x*a*(p^2) - 2*a*p + 6)^q - 4*(3 - a*p)^q
(AUSDRUCK 7)

Dazu wird der durch (p^2), weil immer durch die Differrenz der Basen teilbare Wert

(3*x*p - x*a*(p^2) - 2*a*p + 6)^q - (3*x*p - 2*a*p + 6)^q

addiert, und es ergibt sich:

(p^2) | - 3 - (3*x*p - 2*a*p + 6)^q + 4*(3 - a*p)^q
(AUSDRUCK 7)


Da nun gilt: p | (x + 2*a)

Ist der Wert

(3*x*p - 2*a*p + 6)^q - (6 - 6*a - 2*a)^q

auch immer durch p teilbar, weil er durch die Differenz der Basen teilbar ist.
Dieser Wert wird z,m Ausdruck 7 addiert:

(p^2) | - 3 - (6 - 8*a*p)^q + 4*(3 - a*p)^q
(AUSDRUCK 8)

Nun wird eine k-Darstellung der beiden Zahlen, die mit q potenziert wurden, gemacht, und alle Zahlen, die durch (p^2) teilbar sind, entfernt:

(p^2) | - 3 - 6^q + q*(6^d)*8*a*p + 4*(3^q) - 4*q*(3^d)*a*p
(AUSDRUCK 9)

Zu diesem Ausdruck werden die durch (p^2) teilbaren Werte

(6^q) - 1 sowie 4*(1 - (3^q) addiert; es ergibt sich:

(p^2) | q*(6^d)*8*a*p - 4*q*(3^d)*a*p
(AUSDRUCK 10)

Dieser Ausdruck wird durchg das zu p teilerfremde q geteilt und mit 6 multipliziert.

Dazu werden dann die durch (p^3) teilbaren Werte

(1 - (6^q))*8*a*p und ((3^q)-1)*2*4*a*p

addiert; der entstehende Wert

8*a*p - 8*a*p

ist gleich Null.

So geht es also nicht!

Vom Prinzip her scheitert diese Methode an derselben Sache, wie die Versuche, den Fall 1 der fermatschen Vermutung auf die von mir beschriebene Art und Weise beweisen zu wollen:

Man zieht die Vielfachen dessen, von dem man ausgegengen ist, von dem Ausgangswert derart ab,m dass man am Ende dasselbe, was man vorher addiert hat, hinterher wieder subtrahiert.

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11) Der Rest vom Schützenfest:

Es sei noch erwähnt, dass, sei p eine Wieferich - Primzahl, und, wenn gilt:

p | x - y

Dann auch immer gilt:

(p^2) | (x + y)^p - x^p - y^p

Zunächst wird der Wert (x+y)^p als Summenfolge mittels den Koeffizienten des pascalschen Dreieckes dargestellt. Von diesem Wert werden dann die beiden Summanden (x^p) und (y^p) abgezogen. Die restlichen Summanden haben dann immer die Form:

k*(x^d)*(y^(p-d))

Von diesem Wert wird dann folgend Zahl, die durch (p^2) teilbar sind, abgezogen:

1: Schritt: k*(x^d)*((y^(p-d) - (x^(p-d)))

(Die Koeffizienten "k" sind immer durch p teilbar; ein Beispiel für (p=7):

(1) + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + (1)

Es entsteht der Summand:

k*(x^p)

Die Summe aller Summanden ist dann:

(k_1)*(x^p) + (k_2)*(x^p) + ..... (k_(p-1))*(x1p) + (k_p)*(x^p)

welche gleich dem Wert

(x^p)*((k_1) + (k_2) + ...... (k_(p-1)) + (k_p)

ist; die Summe aller Koeffizienten ist dann aber immer gleich ((2^p)-2); hier mal ein Beispiel für (p=7):

7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 = 126 = (128 - 2) = (2^7) - 2


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Ende: MO 21. Februar 2011

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