1.2) Beweisidee für die fermatsche Vermutung (Fall 1)

Anfang: Berlin 26. Nov. 09

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ACHTUNG, WARNUNG:

Dieser Abschnitt ist zur Zeit in Arbeit und enthällt einige Fehler, eventuell ist er auch ganz unverständlich; nur der Anfang ist lesbar; am Besten, Sie überspringen ihn einfach!

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Hier werden meine Beweisversuche der fermatschen Vermutung für den "Fall 1" vorgestellt, entweder sind sie richtig, oder aber enthalten einen elementaren Fehler, der dann aber leicht zu finden sein dürfte...........
Ich überlasse es dem Kritiker, dies zu beurteilen.
Eine Übertragung auf den "Fall 2" scheint auch recht einfach zu sein, aber, das sei zunächst dahingestellt, bei näherer Betrachtung allerdings scheint es Probleme zu geben, zumindest in meinen Augen.
Gefunden habe ich die ganze Sache am Freitag, den 11 März 2011.
Wer diesen Beweis im "Schnelldurchgang" lesen möchte, sollte nur die Kapitel "7" und "8" lesen.


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Übersicht:

0) Übersicht
1) Vier Vorbemerkungen:
2) Nun zu der Methode:
3) Das pascalsche Dreieck
4) Begrifflichkeit:
5) Nun zum Zahlensystem:
6) Summenfolgendarstellung:
7) ZUSAMMENFASSUNG DES ZAHLENSYSTEMS:
8) Beweisführung

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Die einzelnen Kapitel werden mit folgender Leiste voneinander getrennt:

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1) Vier Vorbemerkungen:

Auf dieser Interneteite kann nicht immer alles perfekt dargestellt werden, so daß es einiger Erläuterungen bedarf:

1.1)___ Verschiedene Browser machen den Zeilenumbruch in dieser Seite an jeweils anderer Stelle, so daß der Text derart dargestellt wird, daß mathematische Ausdrücke nicht in den möglichen Bereich eines Zeilenumbruches fallen (also ärgerlicherweise in zwei oder mehr Zeilen). Der Textbereich kann auch durch Entfernen der Bilder am Seitenrand nicht vergrößert werden, weswegen meine Beweisversuche denn auch stilecht am Seitenrand niedergeschrieben wird.

1.2)___ Das Textverarbeitungsprogramm akzeptiert nur ein einziges "Leerzeichen" und stellt mehrere Blank´s als nur ein einziges dar. Drei verschiedene Leerzeichen zwischen z.B. den Buchstaben x und y werden z.b.deswegen so dargesetellt:
x___y

1.3)___Der Ausdruck (x^n) bedeutet "x hoch n" und der Ausdruck "(n_3)" bedeutet "n mit dem Index 3", "a*b". bedeutet "a mal b" und "x/y" bedeutet "x geteilt durch y", und +/- bedeutet: "Plusminus".

1.4)___Verschiedene Schriftarten/ Schriftformen/ unterstrichene Schrift oder Fettdruck sind nicht möglich.

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2) Nun zu der Methode:

Hier wird das Grundprinzip einer methodischen Vorgehensweise erörtert, mittels der ich versucht habe, den "Fall 1" der fermatschen Vermutung zu beweisen, und außerdem könnte das (modifizierte) Verfahren auch auf den "Fall II" angewandt werden.
Bekannt ist zunächst , dass die "fermatsche Vermutung" (in Folge hier auch "FV" genannt) nur für teilerfremde Basen x,y und z sowie für ungerade prime Exponenten p bewiesen zu werden braucht, also nur für den Ausdruck:

x^p + y^p = z^p

"Fall 1" bedeutet, dass die Zahl xyz nicht durch p teilbar ist, bei "Fall 2" gilt:
p | xyz

Die Methode basiert auf einem Widerspruchsbeweis.


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3) Das pascalsche Dreieck

Zunächst aber nun zum "pascalschen Dreieck"; mittels dieses Dreieckes, welches schon lange bekannt ist, und nach Blaise Pascal benannt worden ist, lassen sich Ausdrücke wie z.B.
(a + b)^n oder aber (x-y)^n als Summenfolge darstellen. (Die Zahlen a,b,x,y und n sind hier allesamt natürliche Zahlen).

Das pascallsche Dreieck (der obere Teil):

____________________________1______________Ebene 0
__________________________1___1____________Ebene 1
________________________1___2___1__________Ebene 2
______________________1___3___3___1________Ebene 3
____________________1___4___6___4___1______Ebene 4
__________________1___5__10___10__5___1____Ebene 5
________________1___6__15___20__15__6___1__Ebene 6
______________1___7__21___35__35__21__7___1___usw.

Die Zahlen in einer Ebene sind immer die Summe beider Zahlen der Ebene darüber.
So gilt z.B. (10 = (4 + 6)), oder aber: (15 = (10 + 5)) .

Der Sinn diese Dreieckes liegt darin, Ausdrücke wie z.B. (x + y)^3 oder aber (z - a)^4 als Summenfolgen darzustellen.

So gilt z.B.:
(x + y)^3 = (x^3) + 3*(x^2)*y + 3*x*(y^2) + (y^3)

oder aber:
(z - a)^4 = (z^4) - 4*(z^3)*a + 6*(z^2)*(a^2) - 4*z*(a^3) + (a^4)


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4) Begrifflichkeit:

Ich werde bei meiner Beweisführung ein paar neue, "selbsterfundene" Begriffe einführen, welche die Erklärung vereinfachen, wie z.B. den Begriff der "Teilbarkeitsregel T", der "K-Darstellung":


------ 4.1) die "Teilbarkeitsregel T":

Gilt ggT (x,y) = 1 und ist p eine ungerade Primzahl und ist (x + y) nicht durch p teilbar, dann gilt:

(x + y) || (x^p) + (y^p)

Gilt ggT (z,y) = 1 und ist p eine ungerade Primzahl und ist (z - y) nicht durch p teilbar, dann gilt:

(z - y) || (z^p) - (y^p)

Dies erkennt man, wenn man im ersten Beispiel den Ausdruck (x^p) + (y^p) durch den Ausdruck
(x^p) + ((w -x )^p) ersetzt mit w = (x + y) und den Ausdruck ((w - x)^p) als Summenfolge mittels den Koeffizienten des pascalschen Dreieckes darstellt, und, im zweiten Beispiel den Ausdruck
(z^p) - (y^p) durch den Ausdruck ((y + b)^p) - (y^p) ersetzt mit z = ( y + b), und dann den Ausdruck ((y + b)^p) als Summenfolge mittels den Koeffizienten des pascalschen Dreieckes darstellt, denn die zwe ersten Koeffizienten einer "Ebene p" sind immer die Zahlen 1 und p.

Somit gilt dann auch:

p*(x + y) || (x^p) + (y^p)

sowie

p*(z - y) || (z^p) - (y^p)

wenn (x + y) oder aber (z - y) durch p teilbar wären.


------ 4.2) die"K-Darstellung:":

Unter "K-Darstellung" verstehe ich, dass, taucht in einer Summenfolge der Ausdruck k*d*(z^t) auf, und die Zahlen k und d die als Buchstaben dargestellte Zahl z nicht mehr enthalten, und außerdem auch gilt:
z = (x + a), der Ausdruck k*d*(z^t) dargestellt wird als k*d*((x + a)^t) und der Ausdruck
(x + a)^t dabei als Summenfolge mittels der Koeffizienten des pascalschen Dreieckes dargestellt wird. Ein Beispiel:

15*d*(z^3) = 15*d*((x + a)^3) wird k-dargestellt als:

15*d*(x^3) + 15*d*3*(x^2)*a + 15*d*3*x*(a^2) + 15*d*(a^3)

Die "Sprachregelung" lautet dann: "(z^t) wird k-dargestellt als ((x + a)^t)".

Ist der Wert (x + a) schon vorhanden, aber, noch nicht als Summenfolge dargestellt, lautet die Ausdrucksweise: "Die Zahl ((x + a)^t) wird k-dargestellt"


------ 4.3) Die "Summenfolgedarstellung":

Noch offen, Erklärung folgt aber weiter unten


Folgende Begriffe werden zur Beweisführung nicht gebraucht und werden nur der Komplettheit wegen erörtert::

------ 4.4) Die "B-Darstellung":

Die B-Darstellung beschreibt, aus welchen als Buchsteben dargestelltern Zahlen eine Summenfolge besteht.


------ 4.5) "obere und untere Primzahlen":

In dem Wert x^g - y^g (mit g als geradem Exponenten) nenne ich die Teiler dieses Wertes, die durch (x+y)*(x-y) teilbar sind, die "unteren Primzahlen", der rest sind die "oberen Primzahlen".
Für u als ungeraden Exponenten finden sich für den Wert
x^u +/- y^u
die unteren Primzahlen im Wert (x +/- y)


------ 4.6) "Korrekturwert":

Ist eine Zahl durch eine Zahl mit einer bestimmten Vielheit teilbar, bestimmt der "Korrekturwert" jene Zahl, mittes der diese Zahl mit einer größeren Vielheit teilbar ist. Beispiel:
Wir nehmen die Zahlen x und y mit w = (x + y)mit p als ungerader Primzahl und dann die Zahl:

x^p + y^p

Es gilt nun:

(p^2) | (w^p) - p*(w^(p-1))*y

Solldiese Zahl dann aber durch (p^3) teilbar sein, muss ein Korrekturwert hinzugefügt werden:

(p^3) | (w^p) - p*(w^(p-1))*y + ((p-1)/2)*(w^(p-2))*(y^2)

Der Wert ((p-1)/2)*(w^(p-2))*(y^2) ist dann der Korrekturwert.


------ 4.7) "effektiver Exponent:

Noch offen

------ 4.8) "Summenfolgedarstellung":

Sie auch Kapitel 6; der Wert (x^p) + (y^p) kann mit q = (p-1) als Summenfolge dargestellt werden:

x^q - (x^(q-1))*y + (x^(q-2))*(y^2)..... - x*(y^(p-1)) + (y^q)

Analoges gilt für die Subtraktion von Potenzen.

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5) Nun zum Zahlensystem:

Zunächst gilt:

(x + y)^p > (x^p) + (y^p), und, somit müsste, wenn gelten würde:
(x^p) + (y^p) = (z^p) , dann auch gelten:
(x + y)^p > (z^p) und somit: (x + y) > z und dann auch gelten
c > 0 mit (c = (x + y) - z).

Nun soll gelten:

(x + y) = w
(w - z) = c
(z - x) = a
(z - y) = b

Damit gilt dann auch:

(y - a) = c
(x - b) = c

da nun gilt im Fall 1 (aufgrund der Teilbarkeitsregel T):

w || (x^p) + (y^p) , als auch:
a || (z^p) - (x^p) , sowie:
b || (z^p) - (y^p) ,

Muss auch gelten:

w || (z^p)
a || (y^p)
b || (x^p)

Da sich eine p-te Potenz aber nur so als Produkt zweier teilerfremden Zahlen darstellen lässt, wenn beide dieser Zahlen p-te Potenzen sind, müssen die Zahlen w; a und b alle p-te Potenzen sein.

Es gilt somit:

w = (h^p) mit (z^p) = w(v^p) und z = vh
a = (r^p) mit (y^p) = a(n^p) und y = r*n
b = (s^p) mit (x^p) = b(m^p) und x = sm

Da nun gilt:

y - a = x - b = w - z = c___, gilt auch:
r*n - (r^p) = sm - (s^p) = (h^p) - hv = c, gilt auch:
hrs || c_____, und somit gilt:
c = fhrs___und___(c^p) = (f^p)wab

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6) Summenfolgendarstellung:
Da nun gilt:

(n^p) = ((z^p) - (x^p))/a
(m^p) = ((z^p) - (y^p))/b
(v^p) = ((x^p) + (y^p))/w

gilt auch:

(n^p) = (z^q) + (z^(q-1))*x +........ + z*(x^(q-1)) + (x^q))
(m^p) = (z^q) + (z^(q-1))*y +........ + z*(y^(q-1)) + (y^q))
(v^p) = (x^q) - (x^(q-1))*y -........ - x*(y^(q-1)) + (y^q))

mit q = (p-1).

Das Ganze soll mal am Beispiel des Falles p = 5 verdeutlicht werden:

(v^5) = (x^4) - (x^3)*y + (x^2)*(y^2) - x*(y^3) + (y^4)

Da nun gilt. w = (x + y), kann man die linke Seite mit w,
und die rechte Seite mit (x + y) multiplizieren und erhällt:

w*(v^5) = (x^5) + (y^5)

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7) ZUSAMMENFASSUNG DES ZAHLENSYSTEMS:

(x + y) = w
(w - z) = c
(z - x) = a
(z - y) = b
(y - a) = c
(x - b) = c

x = sm
y = r*n
z = vh

w = (h^p)
a = (r^p)
b = (s^p)

(z^p) = w*(v^p)
(y^p) = a*(n^p)
(x^p) = b*(m^p)

c = fhrs
(c^p) = (f^p)wab

q = (p-1)

Die Zahlen d,t und j und k finden freie Verwendung, und haben je nach Einsatz verschiedene Bedeutung.
g steht allgemein für einen geraden, und u allgemein für einen ungeraden Exponenten.
Die Zahlen f,h,r und s sind jeweils paarweise zueinander teilerfremd.


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8) Beweisführung:

Zunächst wird davon ausgegangen (der Beweis basiert auf dem Prinzip des Widerspruchsbeweises), dass gilt:

x^p + y^p = z^p

Da nun, ist t eine natürliche Zahl, immer gilt:

p | (t^p) - t

(was unter Anderem aus dem kleinen fermatschen Satz hervorgeht), kann man zu dem Ausdruck

x^p + y^p - z^p

die durch p teilbaren Ausdrücke

x - (x^p) + y - (y^p) + (z^p) - z

addieren, und erhällt nun den durch p teilbaren Ausdruck

p | x + y - z = c

Somit ist c immer durch p teilbar, und, im Fall 1, weil gilt:

c = fhrs

gilt auch:

p | f

weil die Zahlen h,r und s nur Primfaktoren von z,y und x enthalten.

Da nun gilt:

w - z = c ___ und ___ y - a = c ___ und ___ x - b = c

Gilt nun auch:

p | (h^p) - v*h = w - z
p | n*r - (r^p) = y - a
p | m*s - (s^p) = x - b

und somit auch:

p | (h^q) - v
p | n - (r^q)
p | m - (s^q)

Da nun h,r und s teilerfremd zu p sind, sind die drei Zahlen

h^q - 1
r^q - 1
s^q - 1

Immer durch p teilbar, was aus dem kleinen fermatschen Satz hervorgeht, und somit auch die drei Zahlen

v - 1
n - 1
m - 1

Durch p teilbar. Damit gilt aufgrund der "Teilbarkeitsregel T" dann:

(p^2) | (v^p) - 1
(p^2) | (n^p) - 1
(p^2) | (m^p) - 1

Somit kann man zu dem Wert

x^p + y^p - z^p = 0 = b*(m^p) + a*(n^p) - w*(v^p)

Die drei durch (p^2) teilbaren Werte

(p^2) | b*(1 - (m^p))
(p^2) | a*(1 - (n^p))
(p^2) | w*((v^p) - 1)

addieren und erhällt nun den durch (p^2) teilbaren Wert:

(p^2) | - w + a + b = - 2*c

und somit gilt dann:

(p^2) | c

Nun beginnt die eigentliche Beweisführung:
Zunächst gilt:

(y^p) = a*(n^p) = ((c+a)^p)

Die Zahl y wird dann K - dargestellt als Summenfolge mit den Zahlen c und a, und dann wird die ganze Sache durch a geteilt, anschliessend wird eine K-Darstellung von a als (y - c) gemacht. Man erhällt dann eine Darstellung von (n^p); die Zahl (c^p)/a ist dann gleich (f^p)*b*w.

BEISPIEL p = 5:

(n^5) - (y^4) - c*(y^3) - (c^2)*(y^2) - (c^3)*y - (c^4) - (f^5)*b*w = 0

Damit gilt nun mit (2^k) || c :

(p^(2*k)) | (n^5) - (y^4) - c*(y^3)

Die Weiterführung des Beweisprinzipes wird nun am Beispiel (p=5) weitergeführt.

Nun wird eine Summenfolgedarstellung des Wertes (n^5) gemacht, und, es gilt nun (Dieser Ausdruck beansprucht zwei Zeilen):

(p^(2*k)) | - (y^4) - c*(y^3)
(x^4) + z*(x^3) + (z^2)*(x^2) + (z^3)*x + (z^4)


Dann wird eine K-Darstellung von z als (w - c) gemacht, und alle durch (c^2) und somit auch durch (p^(2*k)) teilbaren Werte eliminiert, es gilt nun (dieser Ausdruck beansprucht auch zwei Zeilen):

(p^(2*k) | 5*(x^4) + 10*(x^3)*y + 10*(x^2)*(y^3) + 5*x*(y^3)
- 10*c*(x^3) - 20*c*(x^2)*y - 15*c*x*(y^2) - 5*c*(y^3)

Dies lässt sich auch darstellen als:

((w^5) - (x^5) - (y^5))/y
- 10*c*(x^2)*(x+y) - 10*c*x*y*(x+y) - 5*c*(y^2)*(x+y)

Da nun gilt: (x+y) = w, lässt sich dieser Wert aber nun auch darstellen als

((w^5) - (x^5) - (y^5))/y
- c*w*((w^5) - (x^5) - (y^5) - 5*((x^4)*y))/(x*(y^2))

Dieser Ausdruck wird mit x*(y^2) multipliziert, es entsteht der durch (p^2) teilbare Ausdruck A1:

((w^5) - (x^5) - (y^5))*x*(y^2)
- c*w*((w^5) - (x^5) - (y^5))*y - 5*(x^4)*(y^2)

Aus diesem Ausdruck A1 geht hervor, dass gilt:

(p^k) | (w^5) - (x^5) - (y^5)

Deswegen wird nun zu A1 der durch (p^(2*k)) teilbare Wert

c*w*((w^5) - (x^5) - (y^5))*y

addiert, und, es gilt nun:

(p^(2*k)) | ((w^5) - (x^5) - (y^5))*x*(y^2) + 5*c*w*(x^4)*(y^2)

Nun wird der ganze Wert durch die zu p teilerfremden Zahlen x*(y^2) dividiert, und, vom Ausdruck (w^5) eine K-Darstellung mit (w^5) = ((z+c)^5)gemacht, dann der Ausdruck

(z^5) - (x^5) - (y^5) abgezogen sowie alle durch (c^2) teilbaren Zahlen eliminiert. Es gilt nun:

(p^(2*k)) | 5*c*(z^4) + 5*c*w*(x^3)

Damit gilt nun:

(p^(k-1)) | (z^4) + w*(x^3)

und auch gilt: k > 1, gilt somit:

p | (z^4) + w*(x^3)

Dazu wird der durch c und somit p teilbare Wert

(z - w)*(x^3)

addiert und durch das zu p teilerfremde z geteilt:

p | (z^3) + (x^3)

Dieser Ausdruck wird mit x multipliziert und dazu der aufgrund des kleinen fermatschen Satz durch p teilbare Wert

(z^4) - (x^4)

addiert; dieser Wert wird durch das zu p teilerfremde (z^3) geteilt, und, es gilt nun:

p | z + x

Da nun auch gilt:

(p^(2*k)) || (m^p) - (x^q) - c*(x^(q-1))

, kann man beweisen, dass nun auch gelten muss:

p | z + y

(Man kann die Umformungen genauso begehen, und muss nur die Zahlen x und y vertauschen)

Somit gilt dann:

p | 2*z + x + y

Dazu wird der durch c und somit auch durch p teilbare Wert

p | z - x - y

addiert, und, es gilt nun:

p | 3*z

und somit:

p | 3

Natürlich hat dieser Beweis nicht für p=3 Gültigkeit, und, ist nur dann korrekt, wenn er sich auf alle p>3 transformieren lässt.


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Ende: Berlin DO 22 März 2012